今回そのような状態になったのですが、いざバックアップの更新をしようとしても更新されませんでした。環境設定から確認すると「バックアップボリュームが見つかりません。」というエラーが確認できました。

再度Time Machineの設定を行えば違うバックアップを１から作成してくれそうだったのですが、それでは以前との整合がとれないのと容量の無駄遣いなのでどうにかならないかと調べてみました。以下は不都合が起きる原因と対策です。

原因
Time Machineは各コンピュータのデータの区別を(たとえ１つしかバックアップが無かったとしても)Macアドレスで管理しているようです。なのでEthernetチップの載っているMLBが変更されると、バックアップボリュームにすでにあるデータは自分のではないと判断してしまうのだそうです。
Macアドレスは、バックアップディレクトリの拡張属性と、バックアップボリュームのルートディレクトリに隠しファイルが存在します。例えばMyMacというMacアドレスが12:34:56:78:90:12のコンピュータのバックアップがBackupVolumeというボリュームに存在するなら。
/Volumes/BackupVolume/.123456789012
というファイルが存在し、拡張属性は次のコマンドで確認できます。
$ xattr -p com.apple.backupd.BackupMachineAddress /Volumes/BackupVolume/Backups.backupdb/MyMac
参考サイト：Laopard標準バックアップツール「Time Machine」を使いこなす (2)

対策
10.5: Repair Time Machine after logic board changes
このサイトの通り新しいMacアドレスに拡張属性を変更します。
環境は上の例の通りとし、新しいMLBのMacアドレスをab:cd:ef:01:23:45とします。
$ sudo fsaclctl -p /Volumes/BackupVolume -d
$ sudo mv /Volumes/BackupVolume/.123456789012 /Volumes/BackupVolume/.abcdef012345
$ sudo xattr -w com.apple.backupd.BackupMachineAddress ab:cd:ef:01:23:45 /Volumes/BackupVolume/Backups.backupdb/MyMac
$ sudo fsaclctl -p /Volumes/BackupVolume -e

この通り実行することによって今回は難なく以前の続きとしてバックアップがとれました。